"Las Vegas 21"

"Las Vegas 21"

Cette activité est vraiment géniale. Elle tourne depuis quelques années dans les différentes formations et sûrement que quelques-uns d'entre vous ont déjà pu la tester en classe. Cette année, j'ai pu la faire en demi classe dans le cadre de l'AP. Une heure de pur plaisir. La situation est tellement contre-intuitive que même certains collègues n'arrivent pas à admettre le résultat, alors, les élèves...

Pour débuter l'acte 1, j'explique rapidement le "pitch" du film afin qu'ils comprennent bien ce qui se joue dans la scène qu'ils vont voir. Kevin Spacey joue le rôle d'un prof de maths à la recherche d'étudiants maîtrisant les subtilités du hasard (et plus généralement les mathématiques) pour les enrôler et aller à Las Vegas gagner un max d'argent au Black Jack...en comptant les cartes (ce qui est absolument interdit bien évidemment). 

C'est l'occasion aussi de parler du fait que tous les jeux proposés au casino sont, sur la durée, à l'avantage du casino en refaisant le lien avec la loi des grands nombres.

Suite à cette introduction rapide, on montre la vidéo suivante :

Acte 1

Je la repasse une deuxième fois et fais un rapide schéma au tableau pour bien expliquer la situation. Il s'agit en fait du problème dit de "Monty Hall", du nom du présentateur d'un jeu télévisé américain des années 60 à 80 : "let's make a deal".

je répercute alors à la classe la question posée à Ben et je demande aux élèves de se positionner en utilisant l'application Plickers dont j'ai déjà parlé auparavant.

Voici le résultat :

 

Quand on leur demande les raisons de leur choix, les élèves disent qu'une fois supprimée la 3ème porte, il en reste 2, ce qui fait une chance sur deux d'avoir la porte gagnante donc il n'y a pas d'intérêt à changer.

Acte 2.

Afin d'infirmer ou de confirmer cette thèse, je propose alors aux élèves de simuler ce jeu un grand nombre de fois et de noter le nombre de fois où on aurait gagné en changeant de porte et le nombre de fois ou on aurait gagné en gardant la porte de départ. 

Petite précision, cette activité arrive alors qu'on a déjà rencontré et validé la stabilisation de la fréquence d'un événement lors de la répétition, un grand nombre de fois, d'une même expérience.

Pour simuler cette expérience, on se munit d'une calculatrice possédant un générateur de hasard, ce que toutes les calculatrices collège ont de nos jours. 

L'expérience se déroule en 2 étapes : 

• Étape 1.   Choisir un entier entre 1 et 3 pour définir derrière quelle porte se trouve la Ferrari. 

 

Ex pour les élèves: si l'écran affiche : 

 

 

 

 

 

 

 

 Cela signifie que la Ferrari est  derrière la porte 2

On relance alors une nouvelle fois la calculatrice, cette fois pour décider la porte que nous allons choisir.(Fait dans les conditions du direct!) 

Nous choisissons la porte 3. Monty Hall va donc ouvrir la porte 1 puisqu'il est certain d'y trouver une chèvre. Dans cette situation, à quelle condition gagne-t-on ? 

Si on change de porte! 

Je commence à remplir le tableau suivant :

Si nécessaire, on refait l'expérience une ou deux fois en direct. Les élèves s'aperçoivent assez rapidement qu'il faut appuyer deux fois sur "entrée" sur la calculatrice et que : si on a deux fois le même résultat, il faut garder sinon, il faut changer. Leur perception du problème change alors.

A ce moment, ils travaillent en binômes (6 binômes en AP) et ils doivent me fournir en un temps limité (un peu plus de 5 minutes) environ 200 lancers par binôme.

On collecte ensuite les résultats dans un tableur vidéoprojeté pour voir évoluer en direct la fréquence de "change" (plus parlant, je trouve, que la fréquence de "garde")

L'expérience valide le fait que dans 66% des cas, on gagne en changeant notre choix de départ. Pour boucler la boucle, on regarde alors rapidement l'acte 3.

 Acte 3.

Le débat devient alors intéressant entre les élèves  : "mais!! ça veut dire qu'il faut changer à chaque fois ?" " Mais non il faudrait être à 100%!!" "Oui  mais si on change on a plus de chances de gagner!" "D'accord mais si tu as choisi la bonne porte au départ?!" "Monsieur! C'est vraiment vicieux comme jeu!" Ce que je m'empresse de leur confirmer en leur disant que ce qui le rend vicieux c'est de le limiter à 3 portes, car augmenter le nombre diminue l'incertitude.

Arrive alors un temps de preuve ou tout du moins d'explication mathématique. Il est facile de leur faire dire que 66 % de chances doit correspondre à 2 chances sur 3. D'où vient-il ce 2 chances sur 3 ?

Je leur propose ce schéma :

Au départ, en admettant qu'on ait choisi la porte 1, il y a 1 chance sur 3 que la Ferrari s'y trouve.
Il y a donc 2 chances sur 3 qu'elle se trouve derrière l'une des deux autres portes. Mais comme l'animateur supprime l'une de ces deux portes, les 2 chances sur 3 se répercutent sur la porte restante.

A ce stade, il existe encore quelques récalcitrants qui veulent absolument qu'il y ait une chance sur deux pour chaque porte.

C'est le moment de leur passer ce morceau de vidéo (en anglais mais très bien fait). Cette fois, avec 100 portes et 99 chèvres, la nécessité de changer devient évidente.

A noter que, suite à cette activité, une bonne partie des élèves a regardé le film, parfois à plusieurs, comme une sorte de rite initiatique. J'ai trouvé ça sympa (mis à part que le prof de maths du film ne fait pas grand chose de bon pour notre réputation...) mais je n'ai pas cherché à savoir par quels moyens, plus ou  moins légaux, ils se le sont procuré...