Une idée pour introduire la trigonométrie en troisième.
Introduire la trigonométrie en troisième.
Comme il me parait important de rendre à César ce qui appartient à César, je commencerais en précisant que cette activité et son scénario sont fortement inspirés, voire adaptés, d'un travail ficelé par mon excellent collègue, et néanmoins ami, Stéphane Hélaine, professeur au collège de Monts en Indre et Loire où j'ai aussi passé 13 ans à enseigner. Nous avons grandi ensemble en tant que professeurs de mathématiques, suivi les mêmes formations et avons souvent été inspirés par les mêmes formateurs. Bref tout cela pour dire que nous partageons une vision très similaire de ce que représente pour nous aujourd'hui l'enseignement des mathématiques. Je vous propose en lien (et avec son accord!) la page sur laquelle il a stocké une bonne partie des activités qu'il a mené avec ses élèves.
ACTE 1
Comme de coutume, l'activité débute par une vidéo que je vous laisse découvrir :
Petite précision pour la suite de l'activité, les élèves ont déjà rencontré la notion de pente (d'une droite) lorsque nous avons travaillé sur les fonctions linéaires. Ils savent (ou sont censés savoir) que la droite d'équation y = 0,5x correspond à une pente de 50%. Il leur a aussi été demandé en amont de construire une pente à 80% à l'aide d'un triangle rectangle. Plusieurs réponses sont apparues : 8 carreaux sur 10 carreaux, 4 sur 5, 80 mm sur 100 mm etc ... La proportionnalité sous-jacente a pu être identifiée, ainsi que le lien avec le th de Thalès vu plus tôt dans l'année. Tout ceci pour dire que les élèves n'arrivent pas vierge de toute notion sur cette activité.
A la suite de la diffusion de la vidéo, les élèves se mettent d'accord sur une question concernant les différents escaliers du collège :
Après avoir proposé de savoir si les escaliers du collège sont plutôt des pistes vertes ou rouges, puis de savoir lequel avait la plus grande pente, la classe s'est mise d'accord sur la consigne suivante :
Effectuer un classement des escaliers du collège du moins pentu au plus pentu.
ACTE 2.
Les élèves font leur groupes et je leur annonce que nous allons aller sur chaque escalier pour prendre les mesures nécessaires. Je donne 10 minutes à chaque groupe pour décider de ce qu'ils iront prendre comme mesure sur site. Je leur distribue le document suivant pour prises de notes.
Les élèves partent avec leurs instruments. Il est intéressant de les observer mesurer les marches puis multiplier par le nombre de marches pour avoir la hauteur de l'escalier. Certains réclament des décamètres et se montrent un peu décontenancés quand je leur dis que je n'en ai pas. Certains (mais très peu au départ) prennent conscience que la mesure d'une marche suffit pour estimer la pente d'un escalier.
Lorsque les mesures ont été prises, retour en classe pour exploitation par les groupes. Afin de faire en sorte que tous démarrent, je leur dis qu'il est possible de justifier son classement de différentes façons. Graphiques, calculs etc...
Trois méthodes se dégagent :
Trois méthodes se dégagent :
- Calcul de pente classique : hauteur de marche / profondeur de marche (fois 100 pour un pourcentage).
- Tracés de droites dans des repères en utilisant profondeur en abscisse et hauteur en ordonnée.
- Utilisation du théorème de Pythagore.
Il est intéressant de voir que tous les groupes se lancent dans des calculs même si ceux qui utilisent le th de Pythagore pour calculer l'"hypoténuse" de la marche ne voient pas trop pourquoi ils le font. En réfléchissant bien, les escaliers ayant tous la même hauteur, celui qui a la plus grande hypoténuse est celui le plus long à gravir et donc le moins pentu.
ACTE 3.
Pour cet acte 3, les élèves viennent présenter leurs différentes stratégies au visualiseur (petite caméra posée sur mon bureau).
Le bilan suivant est écrit dans le cahier des élèves :
Dans un escalier, le rapport HAUTEUR/PROFONDEUR est constant et ne dépend pas du nombre de marches choisi. Ce rapport qui peut s'exprimer en pourcentage est appelé PENTE de l'escalier.
PENTE = HAUTEUR / PROFONDEUR.
Afin de consolider les calculs de pentes, les élèves reçoivent alors la fiche d'activité suivante :
Cette fiche permet de consolider le calcul de la pente et de faire apparaitre, tout à la fin, des triangles rectangles.
L'intérêt des trois premiers triangles est qu'ils sont semblables, on le sait car leurs longueurs sont proportionnelles. On sait aussi que des triangles semblables ont les mêmes angles. Or ces trois triangles donnent une même pente. On en conclut que, dans ces triangles, la pente ne dépend que de l'angle formé avec l'horizontale. Avec le dernier triangle rectangle isocèle on est même capable de d'associer une PENTE et un ANGLE et même de battre en brèche une idée contre intuitive :
La pente à 100% correspond à un angle de 45°... "Ah bon monsieur?! une pente à 100% c'est pas vertical??" Et bien non, et on va même plus loin en expliquant pourquoi la verticale n'a pas de pente. Ou alors une pente qu'on peut considérer infinie... (Souvent cette explication a déjà été faite pendant la leçon sur les fonctions linéaires : Sinon, c'est le moment de redire que si la verticale avait une pente, elle serait la représentation d'une fonction linéaire. Ce qui serait en contradiction avec la notion de fonction qui dit qu'un nombre ne peut avoir plus d'une image...)
Revenons à nos moutons : un lien vient d'être clairement établi entre la PENTE et L'ANGLE. C'est le moment de donner la définition suivante :
Définition : La pente ne dépend que de l'angle. On l'appelle TANGENTE de l'angle.
On fait alors découvrir la touche TAN de la calculatrice (en faisant tan 45° = 1 = 100%) et on fait découvrir le moyen d'obtenir l'angle quand on connait la pente avec la touche ARCTAN (en faisant Arctan(0,75) ou encore Arctan (3/4)).
Afin de maitriser ce nouvel outil, on peut donner aux élèves ce tableau à compléter :
Suite à cela on commence à intégrer des situations avec des triangles comme par exemple :
La dernière situation va perturber les élèves. C'est aussi le but. Ils ont calculé ils ont calculé la "hauteur" puis à coups de Pythagore, ils ont trouvé l'hypoténuse. Mais déjà les premières questions fleurissent : "monsieur, on pourrait pas aller plus vite ? Y a pas quelque chose comme la tangente mais qui relie l'hypoténuse ?"
Évidemment, ces questions sont du pain béni pour la suite. Car une fois totalement consolidés les calculs d'angles manquants ou de longueurs manquantes à l'aide de la tangente, on va pouvoir leur présenter sans quasiment aucune difficulté nos deux lignes trigonométriques manquantes : le sinus et le cosinus. Il est possible de le faire à l'aide de Geogebra (c) et de son tableur intégré pour leur montrer que les rapports mettant en jeu l'hypoténuse ne dépendent eux aussi que de l'angle.
Entre temps, on aura introduit la notion de coté OPPOSE et de côté ADJACENT en lieu et place de hauteur et profondeur.
--> Animation Geogebra
Dans cette animation, on peut bouger le point B qui permet de modifier les longueurs du triangle sans modifier sa forme. On peut bouger ensuite le point C qui permet de modifier l'angle.
On fait constater aux élèves que les rapports dans le tableur ne dépendent que de l'angle. On identifie la tangente. Reste à donner un nom aux deux derniers rapports : on les appelle sinus et cosinus.
Un bilan de cours général peut être fait à ce moment. Si les élèves ont bien travaillé sur la notion de Tan/Arctan, ils seront à l'aise tout de suite avec Sin/Arcsin et Cos/Arccos.
"Oui mais monsieur, on va se mélanger avec toutes ces formules!!" "C'est vrai, tu as raison, c'est pourquoi je te propose un moyen mnémotechnique pour t'en souvenir :"
Arrive alors SOH CAH TOA ou même CAH SOH TOA qui a pour eux une résonance comique et qu'ils finissent par mieux retenir.
A ce stade, la leçon est globalement terminée et permet de différencier une séance pour consolider les différents calculs possibles dans ce genre de situations.
Voilà pour cette idée de scénario possible. N'hésitez à réagir, proposer des améliorations, des modifications etc...
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